分形漫话
1998 年第 10 期
· 知识窗
· 吴振奎
自然界万物五花八门、千姿百态，传统几何所描绘的光滑的曲线少之又少。无论是起伏跌宕的地貌、弯曲迂回的河流，还是参差不齐的海岸、光怪陆离的山川；无论是袅袅升腾的炊烟、悠悠漂泊的白云，还是杂乱无章的粉尘飘移、分子和原子的无规则运动……所有这一切，传统几何已无力描绘，人们需要新的数学工具。
微积分发明之后，数学家们为了某种目的（如构造连续但不可微函数、周长无穷所围面积为零的曲线等等）而臆造的曲线，长期以来被视为数学中的“怪胎”，然而慧眼独具的数学家把它们看做珍奇（因而从某些角度考虑它们又被看成数学中的“美”），经过加工、提炼、抽象、概括而创立了一门新的数学分支——分形。
<JZ|>海岸线长
60年代英国《科学》杂志刊载曼德布鲁特（B.B.Mandelbrot）的文章《英国海岸线有多长?》，这个不是问题的问题，却让人仔细想一想后大吃一惊：除了估算的方法性描述外我们并无肯定的答案——海岸线长会随着度量标度（或步长）的变化而变化。
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因为人们在测量海岸线长时，总是先假定一个标度，然后用它沿海岸线步测一周得到一个多边形，其周长可视为海岸线的近似值：显然由于标度选取的不同，海岸线长数值不一，且标度越细密，海岸线长数值越大。确切地讲，当标度趋向于0时，海岸线长并不趋向于某个确定的值。
其实，在数学中这类问题许多年前已为人们所研究。
<JZ|>科赫曲线
人们常用“雪飞六出”来描述雪花的形状，其实雪花并不只是呈六角星形，这是由于它们在结晶过程中所处环境不同而致。仔细观察六角雪花会发现，它并非呈一个简单的六角星形，用放大镜去看它会有如右的图形。
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1906年，数学家科赫（H.Von Koch）在研究构造连续而不可微函数时，提出了如何构造能够描述雪花的曲线——科赫曲线。
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将一条线段去掉其中间的1／3，然后用正三角形的两条边（它的长为所给线段长的1／3）去代替，不断重复上述步骤可得所谓的科赫曲线。
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如果以所给线段的长为边长做成一个正三角形，然后在这个正三角形每条边上实施上述变换，便可得到科赫雪花图案：
这是一个极有特色的图形，如果假定原正三角形边长为a，则可以算出上面每步变换后的科赫（曲线）雪花的周长和它所围面积分别是：
周长：3*a，4/3*a，……?觥?
面积：S=sqrt（3）/4*a*a，S+3/4*4/9*S，……??2*sqrt（3）/5*a**a
这就是说：科赫雪花不断实施变换“加密”，其周长趋于无穷大，而其面积却趋于定值。
<JZ|>康托粉尘集
数学中可以产生上述怪异现象的例子由来已久，集合论的创始人康托（G.Cantor）为了讨论三角级数的唯一性问题，于1872年曾构造了一个奇异的集合——康托（粉尘）集。
将一个长度为1的线段三等分，然后去掉其中间的一段；再将剩下的两段分别三等分后，各去掉中间一段，如此下去，将得到一些离散的细微线段的集合——康托集。
这个集合的几何性质难以用传统术语描述：它既不是满足某些简单条件的点和轨迹，也不是任何简单方程的解集。
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康托集是一个不可数的无穷集合，然而它的大小不适于用通常的测度和长度来度量，而且以合理定义的长度去度量它时，其长度总和为0。
<JZ|>皮亚诺曲线
在我们通常的认识中，点是0维的、直线是1维的、平面是2维的、空间是3维的（这实际上是由确定它们的最少坐标个数而定）。但是1890年意大利数学家兼逻辑学家皮亚诺（G.Peano）构造了能够填满整个平面的曲线——皮亚诺曲线，其具体构造不难从下面图示中看出：
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这显然也是一条“怪异”曲线：它是一条曲线（故面积为0），但可以填满一个正方形（它的面积显然不为0）。
<JZ|>西尔平斯基衬垫和地毯
1915年，波兰数学家西尔平斯基（Sierpinski）制造出两件绝妙的“艺术品”——衬垫和地毯。
把一个正三角形均分成四个小正三角形，挖去其中间一个，然后在剩下的三个小正三角形中分别再挖去各自四等分时的中间一个小正三角形，如此下去可得到西尔平斯基衬垫：
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容易看到：无论重复多少步总剩下一些小的正三角形，而这些小正三角形的周长越来越大而趋于无穷，它们的面积和却趋于0。
从某种意义上讲，上述衬垫实际上是康托粉尘集在二维空间的拓广而已。
此外，西尔平斯基还用类似的方法构造了西尔平斯基地毯：
将一个正方形九等份，然后挖去其中间的一个；再将剩下的八个小正方形各自九等份后分别挖去其中间的一个小正方形；重复上面的步骤……人们称由此得到的图形（集合）为西尔平斯基地毯，同样它的面积趋于0，而线的长度趋于无穷大：
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<JZ|>西尔平斯基海绵
西尔平斯基又将它的杰作推向了3维空间：
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将一个正方体每个面九等分，这样它被等分成27个小正方体，挖去体心与面心处的七个小正方体；然后对剩下的20个小正方体中的每一个实施上述操作，如此下去……人们把这个千“窗”百孔的正方体（它正像日常生活中见到的海绵）称为西尔平斯基海绵，它的表面积趋于无穷大，而它的体积趋于0。