数的“金蝉脱壳”法
1992 年第 3 期
· 知识窗
· 谈祥柏
数论中有许多题材使人沉湎其中，往往乐而忘返。所以，这门学科自古以来，就吸引着人们去探索。
通俗性与公证性是数论的两大特点，。这就是说，有些题目，虽然其推证方法与导出过程极其复杂深奥，可是它的结果却是人人都能理解、都能欣赏、都能鉴别的。这就像磁铁一样，有一种无形的吸引力，把越来越多的业余爱好者吸引了过去。
现在请看两组自然数，每组各有三个数，每个都是六位数字。把这两组数分别相加，就会发现它们的和是完全相等的，即：
123789+561945+642864
=242868+323787+761943
这样的性质，自然算不上什么稀罕。可是，要知道它们各自的平方之和也是相等的，那就是说：
123789×123789+561945×561945+642864×642864
=242868×242868+323787×323787+761943×761943
如果不信，请算一算吧!算过以后，你也许会伸伸舌头，说一声：“妙啊!”
且慢，真正的妙事还在后头呢!请把每个数的最左边一位数字都抹掉，你会发现，对剩下的数来说，上述的奇妙关系仍然成立，即：
23789+61945+42864=42868+23787+61943
23789×23789+61945×61945+42864×42864=42868×42868+23787×23787+61943×61943
事情真怪。让我们再抹掉每个数最左边的一位数字试试看吧!通过计算，上述性质依然保存着：
3789+1945+2864=2868+3787+1943
3789×3789+1945×1945+2864×2864=2868×2868+3787×3787+1943×1943
现在，我们索性一不做、二不休，继续干下去了。我们发现，尽管每次抹掉最左边的一位数字，可是这种奇妙的性质总是被“原封不动”地保存了下来：
789+945+864=868+787+943
789×789+945×945+864×864=868×868+787×787+943×943
89+45+64=68+87+43
89×89+45×45+64×64=68×68+87×87+43×43
直到最后只剩下个位数，这一“性质”依旧“巍然不动”：
9+5+4=8+7+3
9×9+5×5+4×4=8×8+7×7+3×3
这就像“金蝉脱壳”一般，脱到最后一层，金蝉却还是货真价实的金蝉，其“个性”可谓“至死不变”矣。
现在我们还是从原来的两组数出发，可是这一次却“反其道而行之”，即把两组数的数字逐个逐个地从右边抹掉。
经过这样的剧烈变动，这种性质总不见得保持下来了吧?可是，与人们预料的相反，这种性质居然还是保存了下来：
12378+56194+64286=24286+32378+76194
12378×12378+561948×561948+64286×64286=24286×24286+32378×32378+76194×76194
……
直到最后抹得只剩下个位数时也是如此：
1+5+6=2+3+7
1×1+5×5+6×6=2×2+3×3+7×7
这类问题在数论上叫做“等幂和问题”，在国内外，它一直吸引着大批爱好者，但至今仍未能彻底解决。